PhilosophyDay

Математическая индукция

Другая философия / Индуктивная логика / Математическая индукция

Математическая индукция – это прием введения и доказательства общих положений математики и математической логики. Его суть в следующем: пусть свойство Р

присуще первому элементу какого-то упорядоченного множества (множество будет упорядочено, если известно, какой его элемент является первым, какой второй и т.

-ому элементу этого множества вытекает, что оно присуще К+1

‑ому элементу, то оно присуще всем элементам данного множества.

Математической индукцией мы можем вводить математические понятия. Например, понятие «натуральное число» можно определить следующим образом: 1

– натуральное число; если N

– натуральное число, то N

+1 –

натуральное число. Математической индукцией мы доказываем многие теоремы. Например, докажем, что n

‑ый член арифметической прогрессии задается формулой:

аn = а1+ d (n – 1),

где аn – n‑

ный член прогрессии;

а1

– ее первый член;

d

– разность прогрессии.

В самом деле, формула справедлива для n=1

, ибо а1=а1+ d (1–1)=а1

Пусть она справедлива для какого-то К

-ого члена, т.е. предположим, что

ак = а1+ d (к – 1)

а к+1

член прогрессии по определению арифметической прогрессии равен

ак+1 = ак+ d

Поставим вместо ак

предыдущее выражение. Получаем

ак+1 = а1+ d (к – 1) + d = а1 + dк.

Получается, что формула справедлива для к+1

члена прогрессии, а значит она справедлива для любого n

.

Математическая индукция играет роль аксиомы конструктивной математики и конструктивной логики, теории алгоритмов и ряда других формальных теорий.