png">, т.е. коллизия парадокса. Из этого получается, что множество «Эпименид» является пустым множеством, т.е. Эпименид в данной системе посылок не может существовать. Посмотрим теперь, что получится, если мы в качестве антитезы ложному суждению Эпименида возьмем не общее, а частное суждение «Некоторые критяне не лжецы». Как мы уже знаем, это суждение является контрадикцией к суждению «Все критяне лжецы» и при совмещении с ним вызывает коллизию парадокса. Отсюда, если принять, что «Все критяне лжецы» – ложное суждение, то истинным суждением будет его антитеза: «Некоторые критяне не лжецы». Оказывается, что при подстановке именно этого суждения в структуру парадокса не возникает. Чтобы проверить это, построим для этой системы суждений соответствующую E‑структуру.

Э®(К, Л) – Эпименид критянин и лжец;

W®(К,) – Некоторые критяне не лжецы.

Нетрудно убедиться, что коллизии парадокса не появилось. Критянин Эпименид лжец и он включен в состав тех, которые не являются «некоторыми» правдивыми критянами (следствие Э®).

Рассмотрим известный тип силлогизма (в Аристотелевской силлогистике – это модус EAO 4-й фигуры категорического силлогизма), в котором из двух общих суждений можно вывести только частное суждение.

1-я посылка: Ни одно млекопитающее не есть рыба.

2-я посылка: Все рыбы дышат жабрами.

Заключение: Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не являются млекопитающими.

Из биологии нам известно, что все дышащие жабрами не относятся к классу млекопитающих. В заключении же говорится только о некоторых из них. Но в данном случае мы не имеем права говорить о всех дышащих жабрами, потому что при логическом выводе мы должны исходить не из наших знаний или заблуждений, а только из того, что нам дано в посылках. А из наших посылок по правилам Аристотелевской силлогистики можно вывести только частное суждение. Посмотрим, что получится, если воспользоваться E-структурами.

Обозначим М – млекопитающие, Р – рыбы, Ж – дышащие жабрами. Тогда посылки можно представить в виде таких формул:

М ® ; Р ® Ж.

Здесь нужно сделать одно пояснение. Суждение типа «Ни одно A не есть B» в традиционной логике означает то же самое, что и суждение типа «Каждое A не есть B» и в алгебре множеств соответствует включению соответствующего множества A в дополнение множества B. Наличие двух отрицаний в одном суждении в данном случае обусловлено не двумя фактическими отрицаниями, а некоторыми нелогичными особенностями синтаксиса русского языка. Например, в английском языке суждение «Ни одно A не есть B» формулируется как «No A is B», т.е. в этом языке в отличие от русского используется только одно отрицание. На диаграммах Эйлера соотношения, выраженные этими суждениями, изображаются в виде пары непересекающихся множеств A и B, из чего следует справедливость включения AÍ.

Рассмотрим простой метод построения экзистенциальных суждений для произвольной E‑структуры. Здесь нужно учесть, что граф E-структуры – это граф частично упорядоченного множества, в котором определяющим отношением является отношение включения множеств. В каждой E-структуре можно выделить наибольший и наименьший элементы – это пустое множество (Æ) и универсум (U); на схемах мы их не показываем – они просто подразумеваются. Кроме подразумеваемых наибольшего и наименьшего элементов в E‑структурах имеются так же минимальные и максимальные элементы – на схемах их присутствие обязательно. Если руководствоваться схемным представлением, то их определение очень просто.

Минимальные элементы E-структуры – это элементы, в которые не входит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 минимальных элемента (М, Р и ).

Максимальные элементы E-структуры – это элементы, из которых не исходит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 максимальных элемента (, и Ж).